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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ है।इसे $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} 1 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1)$ के रूप में लिखा जा

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$(11, 103)$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} (1 - (2n)^2(2n-1))$ है।इसे $S = 1 + \sum_{n=1}^{10} 1 - \sum_{n=1}^{10} (4n^2)(2n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।$S = 1 + 10 - 4 \sum_{n=1}^{10} (2n^3 - n^2)$।$S = 11 - 4 [2 \sum_{n=1}^{10} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^2]$।सूत्रों $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ और $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$S = 11 - 4 [2 \cdot (55)^2 - \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}]$।$S = 11 - 4 [2 \cdot 3025 - 385] = 11 - 4 [6050 - 385] = 11 - 4 [5665]$।$S = 11 - 22660 = 11 - 220(103)$।$\alpha - 220 \beta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 11$ और $\beta = 103$ प्राप्त होता है।अतः,क्रमित युग्म $(11, 103)$ है।

यदि $1+(1-2^{2} \cdot 1)+(1-4^{2} \cdot 3)+(1-6^{2} \cdot 5)+\ldots+(1-20^{2} \cdot 19) = \alpha - 220 \beta$ है,तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ किसके बराबर है?

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$n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2} < 1.01$ है।

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